Μεσα στην ανειπωτη τραγωδια του κορωνοιου, ιδιως στην Ιταλια, και μη ξεροντας εαν τελικα θα τη σκαπουλαρουμε, δουλεια βρηκαμε. Εννοω την αναλυση και ερμηνεια των πασης φυσεως στατιστικων στοιχειων που κυκλοφορουν. Τελευταια εχω επιχειρησει να αναλυσω καποια απο αυτα, αλλα ΕΝΤΕΛΩΣ ΜΠΑΚΑΛΙΚΑ. Γιατι μπακαλικα? Γιατι ΔΕΝ ειμαι ειδικος, και γιατι ΔΕΝ εχω το χρονο. Αρα το μπλογκ αυτο ειναι εξ ορισμου, exercise in μπακαλική.
Προτου ξεκινησω, θελω να πω για τους μαθηματικα ασχετους, οτι εαν μπορουν να πιασουν τι εστι η 1η παράγωγος y=dX/dt μιας μεταβλητης Χ, ως προς το χρονο, θα ειναι πολυ πιο ευκολα να καταλαβουν τι θελω να πω πιο κατω. Ακομα καλυτερα εαν ξερουν και τι σημαινει η 2η παραγωγος, δηλαδη η παραγωγος της παραγωγου. Διοτι και οι 2 παραγωγοι ειναι εννοιες πολυ σημαντικες οσον αφορα τον κορωνοιο. If this is a problem for you, please disregard the rest of this blog.
Για τους αλλους, τους μαθηματικα σχετικους, που ειναι και η πλειοψηφια, πολλα απο αυτα που θα πω εδω μπορει να φαινονται the epitome of the obvious. Αgain if this is a problem for you, please disregard the rest of this blog.
Μετα απο αυτα τα αιχμηρα disclaimers, για να δουμε ποιος θα διαβασει τη συνεχεια!!
[Aνοιγω εδω μια παρενθεση, ασχετη με κορωνοιο. Εμαθα περι παραγώγων στο γυμνασιο, και δη μονος μου, διαβαζοντας το κλασσικο βιβλιο του Αριστειδη Παλλα "ΜΕΓΑΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑ". Το εκανα επειδη υπηρχε ενας συμμαθητης μου, μαθηματικο κεφαλι, ο Νίκος ο Μπουκιάς- ο οποιος δυστυχως εχει αποθανει- ο οποιος συνεχεια μας ελεγε οτι ηξερε παραγώγους, ενω δεν μας τις ειχανε διδαξει στην ταξη. Οποτε απο περιεργεια, και μη οντας ο ιδιος μαθηματικο κεφαλι, εκατσα και διαβασα και τις εμαθα και εγω, προτου μας τις διδαξουν].
O αριθμος των επιβεβαιωμενων κρουσματων (ας τον πουμε Κ) ειναι μια απο τις βασικες μεταβλητες που εμφανιζονται στα πασης φυσεως στατιστικα για τον ιο. Μια αλλη βασικη μεταβλητη ειναι ο αριθμος των θανατων, ας τον πουμε Θ. Ας εστιαστουμε στο Κ. To K ανεβαινει μερα με τη μερα, η δε 1η παραγωγος του Κ, το dK/dt, ειναι (for all practical purposes) τα νεα κρουσματα που καταγραφονται απο τη μια μερα στην επομενη. Μετρητες οπως το Worldometer ΒΛ. ΕΔΩ, μετρανε (μεταξυ αλλων) καθε μερα τα νεα κρουσματα, οπως και τα συνολικα, για καθε χωρα. Στο Worldometer, αλλα και γενικα, το K ειναι front and center.
Μια εντελως υποθετικη και υπεραπλουστευμενη περιπτωση ειναι εαν ο ρυθμος αυξησης των νεων επιβεβαιωμενων κρουσματων απο μερα σε μερα ειναι ενα σταθερο ποσοστο των ηδη υπαρχοντων (επιβεβαιωμενων κρουσματων), εαν δηλαδη dK/dt =aK, οπου a ειναι μια σταθερα. Τοτε η αυξηση ειναι αυτο που λεμε εκθετικη, ανεξαρτητα απο το ποια ειναι η τιμη του a. Πχ εαν ξεκινησουμε με Κ=100 και a=0.2 (δηλ. 20% αυξηση καθε μερα), τοτε θα εχουμε
Κ=120 τη 2η μερα
Κ=144 την 3η μερα
Κ=173 την 4η μερα
Κ=205 την 5η μερα
δηλαδη υπερδιπλασιασμος καθε 5 μερες.
Εαν a=0.35, τοτε
Κ=135 τη 2η μερα
Κ=182 την 3η μερα
Κ=246 την 4η μερα
Κ=332 την 5η μερα
δηλαδη υπερΤΡΙπλασιασμος καθε 5 μερες.
Βεβαια, αποκλειεται κατι τετοιο να διατηρηθει επ απειρον, γιατι ο αριθμος Κ ακομα και στη χειροτερη περιπτωση δεν μπορει να ξεπερασει τον πληθυσμο της χωρας. Επομενως σε καποια φαση θα περιμενε καποιος τα νεα κρουσματα σταδιακα να αρχισουν να μειωνονται, μεχρι να μηδενιστουν εντελως. Αυτο δεν μπορει να συμβει με το εκθετικο μοντελο. Το θεμα ειναι, ποτε θα γινει αυτο, δηλ. ποτε η κατασταση θα αρχισει να αναστρεφεται.
Καλο σημαδι εν προκειμενω θα ειναι εαν η οταν η 1η παραγωγος (δηλ. τα νεα κρουσματα) αρχισει σταδιακα να μειωνεται, μεχρι σε καποια φαση να μηδενιστει εντελως (κανενα νεο κρουσμα). Στη γλωσσα του calculus αυτο συνεπαγεται η 2η παραγωγος να γινει αρνητικη. ΒΛΕΠΕ ΚΑΤΩΤΕΡΩ ΣΚΑΡΙΦΗΜΑ.
Οσο η 2η παραγωγος ειναι θετικη, τα νεα κρουσματα (dK/dt) θα μεγαλωνουν (απο το Α στο Β). Για να αρχισουν να μικραινουν (απο το Β στο C), θα πρεπει να γινει αρνητικη η 2η παραγωγος. Πηγαινοντας η 2η παραγωγος απο θετικη σε αρνητικη θα περασει απο το 0, το οποιο ειναι το σημειο καμπης στην εξελιξη του ιου (σημειο Β). Στο σημειο C, η 1η παραγωγος μηδενιζεται και δεν εχουμε πλεον νεα κρουσματα (dK/dt=0).
Παρομοια μπορει να πει καποιος για τον αριθμο των θανατων Θ.
Ενα ερωτημα ειναι, βλεποντας τα στοιχεια καθε μερα, μπορει να βγαλει καποιος συμπερασμα για το ποσο γρηγορα θα φτασουμε στο σημειο καμπης, η ακομα και στο μεγιστο του Κ, η στο μεγιστο του Θ?
Για να απαντησω στο ερωτημα αυτο, αρχισα να παιζω με τα νουμερα, πχ βλ. κατωτερω για τη Γαλλια.
To ανωτερω γραφημα δειχνει την 1η παραγωγο του Κ, δηλ. τα ΝΕΑ επιβεβαιωμενα κρουσματα για τη Γαλλια καθε μερα τον τελευταιο μηνα. Βλεπουμε γενικα μια αυξητικη ταση, με καποιες μικροεξαιρεσεις εδω και εκει. Σιγουρα δεν εχουν ακομα φτασει στο σημειο καμπης.
Kαι η 2η παραγωγος? Βλ. κατωτερω.
Bλεπουμε οτι σε καποια σημεια εγινε αρνητικη, αλλα η γενικη ταση ειναι ακομη θετικη.
Ενα θεμα εδω ειναι οτι υπαρχει πολυς θορυβος στα στοιχεια, ιδιως στη 2η παραγωγο. Οπως ειδαμε πιο πανω, η 2η παραγωγος μπορει να ειναι στην αρχη θετικη, μετα αρνητικη, μετα παλι θετικη, κλπ. Αρα ισως ειναι σκοπιμο να κανει καποιος καποια εξομαλυνση (smoothing) εαν ειναι να ψαξει για τασεις.
Ιδου κατωτερω ο λογος (dK/dt)/K, δηλαδη τα νεα κρουσματα ως ποσοστο των κρουσματων, μετα απο μια τετοια εξομαλυνση (το καθε νουμερο ειναι ο αριθμητικος μεσος ορος της προηγουμενης εβδομαδας).
Bλεπουμε δηλαδη οτι μικραινει, αλλα μεχρι να παει στο μηδεν, εχουμε ακομα καποιο δρομο.
Γενικα φαινεται σε καποιες χωρες οτι και το dΚ/dt και το dΘ/dt εχουν πτωτικη ταση, αλλα πουθενα δεν εχουν ακομα μηδενιστει (πλην Κινας, οπου πρακτικα εχουν μηδενιστει).
Ποιο ειναι τωρα ενα αλλο βασικο προβλημα. Το Κ ειναι ΜΗ αξιοπιστο νουμερο μια και εξαρταται, μεταξυ αλλων, απο το ποσα τεστ κανει καθε χωρα. Γενικα, υπαρχουν πολλα περισσοτερα κρουσματα απο τα καταγεγραμμενα κρουσματα, και κανενας δεν ξερει ποσα ειναι τα μη καταγεγραμμενα κρουσματα. Εαν καποιος δεν κανει τεστ ακομα και εαν υποψιαζεται οτι εχει τον ιο, η ακομα και εαν τον εχει, δεν καταγραφεται στο Κ. Το εαν κανει η οχι τεστ εξαρταται απο τη στρατηγικη της καθε χωρας, η οποια εξαρταται και απο τα ποσα test kits εχει διαθεσιμα. Εχω την αισθηση οτι γενικα υπαρχει ελλειψη. Καποιες χωρες κανουν πολλα τεστ, και καποιες κανουν τα τεστ μονο εαν καποιος ειναι σε πολυ ασχημη κατασταση δηλ. του θανατά. Επισης καποιες χωρες αλλαζουν στρατηγικη! Πχ η Δανια αλλαξε 2 φορες μεσα σε λιγοτερο απο 3 βδομαδες- μολις τωρα επανηλθε στη στρατηγικη πολλων τεστ την οποια ειχε εγκαταλειψει οταν εκλεισε ολο το δημοσιο τομεα, κατι που θα εκτοξευσει την τιμη του Κ, μονο και μονο λογω αλλαγης της στρατηγικης.
Εαν σε μια χωρα δεν γινονται τεστ, το Κ θα ειναι μηδεν.
ΤΕΛΟΣ: Aπο καποια ΠΟΛΥ τσαπατσουλικη αναλυση που εκανα, φαινεται οτι ο ρυθμος αυξησης του αριθμου των θανατων Θ εχει χρονικη υστερηση σε σχεση με τον αντιστοιχο ρυθμο μεταβολης του Κ, κατα περιπου 2 βδομαδες (οχι τα απολυτα νουμερα, οι ρυθμοι αυξησης). Δηλαδη η τιμη του (dΘ/dt)/Θ τωρα ειναι παρομοια με αυτη του (dΚ/dt)/Κ πριν 2 βδομαδες. Αυτο συναδει με τη θεωρια οτι ΕΑΝ ειναι καποιο επιβεβαιωμενο κρουσμα να αποθανει, ο χρονος μεταξυ επιβεβαιωσης του κρουσματος και του θανατου ειναι περι τις 2 βδομαδες. Υποθετω βεβαια οτι αυτο θα ισχυει μονο στην περιπτωση που η στρατηγικη του τεστ ειναι, τεσταρουμε μονο περιπτωσεις με πολυ κακα συμπτωματα.
Κατα τα αλλα, ψαχνω εναγωνιως ποτε και σε ποια χωρα η 2η παραγωγος θα γινει αρνητικη, που θα ειναι και το φως στην ακρη του τουνελ. Οντας και εδω μη ειδικος, διακινδυνευω την προβλεψη οτι σε καποιες χωρες της Ευρωπης αυτο θα γινει μεσα σε 1 με 2 μηνες απο τωρα. Εξ αλλου, δεδομενης της χρονικης υστερησης, οι επιπτωσεις των μετρων που εχουν παρθει δεν ειναι ακομα ορατες, αρα τα νουμερα θα πεσουν πιο γρηγορα.
Εν τω μεταξυ, σε καποιες χωρες οπως στη Σουηδια, φαινεται οτι δεν τρεχει τιποτε.
Αυτα προς το παρον. Προσεχετε.
Ο μπακαλης της γειτονιας.
ΥΓ Νομιζω οτι τελικα ΟΥΤΕ το Θ ειναι αξιοπιστο νουμερο. Καποιες χωρες μπορει ειτε να μην μπορουν να πιστοποιησουν οτι ο ταδε θανατος οφειλεται στον κορωνοιο, ειτε να μη ΘΕΛΟΥΝ να το πιστοποιησουν.
YΓ2 Ισως το μπλογκ αδικει την συμπαθη ταξη των μπακαληδων, οι οποιοι μαλιστα επιτελουν εξαιρετικα σημαντικο εργο την εποχη αυτη. No offense, το εννοουσα μεταφορικα.
Προτου ξεκινησω, θελω να πω για τους μαθηματικα ασχετους, οτι εαν μπορουν να πιασουν τι εστι η 1η παράγωγος y=dX/dt μιας μεταβλητης Χ, ως προς το χρονο, θα ειναι πολυ πιο ευκολα να καταλαβουν τι θελω να πω πιο κατω. Ακομα καλυτερα εαν ξερουν και τι σημαινει η 2η παραγωγος, δηλαδη η παραγωγος της παραγωγου. Διοτι και οι 2 παραγωγοι ειναι εννοιες πολυ σημαντικες οσον αφορα τον κορωνοιο. If this is a problem for you, please disregard the rest of this blog.
Για τους αλλους, τους μαθηματικα σχετικους, που ειναι και η πλειοψηφια, πολλα απο αυτα που θα πω εδω μπορει να φαινονται the epitome of the obvious. Αgain if this is a problem for you, please disregard the rest of this blog.
Μετα απο αυτα τα αιχμηρα disclaimers, για να δουμε ποιος θα διαβασει τη συνεχεια!!
[Aνοιγω εδω μια παρενθεση, ασχετη με κορωνοιο. Εμαθα περι παραγώγων στο γυμνασιο, και δη μονος μου, διαβαζοντας το κλασσικο βιβλιο του Αριστειδη Παλλα "ΜΕΓΑΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑ". Το εκανα επειδη υπηρχε ενας συμμαθητης μου, μαθηματικο κεφαλι, ο Νίκος ο Μπουκιάς- ο οποιος δυστυχως εχει αποθανει- ο οποιος συνεχεια μας ελεγε οτι ηξερε παραγώγους, ενω δεν μας τις ειχανε διδαξει στην ταξη. Οποτε απο περιεργεια, και μη οντας ο ιδιος μαθηματικο κεφαλι, εκατσα και διαβασα και τις εμαθα και εγω, προτου μας τις διδαξουν].
O αριθμος των επιβεβαιωμενων κρουσματων (ας τον πουμε Κ) ειναι μια απο τις βασικες μεταβλητες που εμφανιζονται στα πασης φυσεως στατιστικα για τον ιο. Μια αλλη βασικη μεταβλητη ειναι ο αριθμος των θανατων, ας τον πουμε Θ. Ας εστιαστουμε στο Κ. To K ανεβαινει μερα με τη μερα, η δε 1η παραγωγος του Κ, το dK/dt, ειναι (for all practical purposes) τα νεα κρουσματα που καταγραφονται απο τη μια μερα στην επομενη. Μετρητες οπως το Worldometer ΒΛ. ΕΔΩ, μετρανε (μεταξυ αλλων) καθε μερα τα νεα κρουσματα, οπως και τα συνολικα, για καθε χωρα. Στο Worldometer, αλλα και γενικα, το K ειναι front and center.
Μια εντελως υποθετικη και υπεραπλουστευμενη περιπτωση ειναι εαν ο ρυθμος αυξησης των νεων επιβεβαιωμενων κρουσματων απο μερα σε μερα ειναι ενα σταθερο ποσοστο των ηδη υπαρχοντων (επιβεβαιωμενων κρουσματων), εαν δηλαδη dK/dt =aK, οπου a ειναι μια σταθερα. Τοτε η αυξηση ειναι αυτο που λεμε εκθετικη, ανεξαρτητα απο το ποια ειναι η τιμη του a. Πχ εαν ξεκινησουμε με Κ=100 και a=0.2 (δηλ. 20% αυξηση καθε μερα), τοτε θα εχουμε
Κ=120 τη 2η μερα
Κ=144 την 3η μερα
Κ=173 την 4η μερα
Κ=205 την 5η μερα
δηλαδη υπερδιπλασιασμος καθε 5 μερες.
Εαν a=0.35, τοτε
Κ=135 τη 2η μερα
Κ=182 την 3η μερα
Κ=246 την 4η μερα
Κ=332 την 5η μερα
δηλαδη υπερΤΡΙπλασιασμος καθε 5 μερες.
Βεβαια, αποκλειεται κατι τετοιο να διατηρηθει επ απειρον, γιατι ο αριθμος Κ ακομα και στη χειροτερη περιπτωση δεν μπορει να ξεπερασει τον πληθυσμο της χωρας. Επομενως σε καποια φαση θα περιμενε καποιος τα νεα κρουσματα σταδιακα να αρχισουν να μειωνονται, μεχρι να μηδενιστουν εντελως. Αυτο δεν μπορει να συμβει με το εκθετικο μοντελο. Το θεμα ειναι, ποτε θα γινει αυτο, δηλ. ποτε η κατασταση θα αρχισει να αναστρεφεται.
Καλο σημαδι εν προκειμενω θα ειναι εαν η οταν η 1η παραγωγος (δηλ. τα νεα κρουσματα) αρχισει σταδιακα να μειωνεται, μεχρι σε καποια φαση να μηδενιστει εντελως (κανενα νεο κρουσμα). Στη γλωσσα του calculus αυτο συνεπαγεται η 2η παραγωγος να γινει αρνητικη. ΒΛΕΠΕ ΚΑΤΩΤΕΡΩ ΣΚΑΡΙΦΗΜΑ.
Οσο η 2η παραγωγος ειναι θετικη, τα νεα κρουσματα (dK/dt) θα μεγαλωνουν (απο το Α στο Β). Για να αρχισουν να μικραινουν (απο το Β στο C), θα πρεπει να γινει αρνητικη η 2η παραγωγος. Πηγαινοντας η 2η παραγωγος απο θετικη σε αρνητικη θα περασει απο το 0, το οποιο ειναι το σημειο καμπης στην εξελιξη του ιου (σημειο Β). Στο σημειο C, η 1η παραγωγος μηδενιζεται και δεν εχουμε πλεον νεα κρουσματα (dK/dt=0).
Παρομοια μπορει να πει καποιος για τον αριθμο των θανατων Θ.
Ενα ερωτημα ειναι, βλεποντας τα στοιχεια καθε μερα, μπορει να βγαλει καποιος συμπερασμα για το ποσο γρηγορα θα φτασουμε στο σημειο καμπης, η ακομα και στο μεγιστο του Κ, η στο μεγιστο του Θ?
Για να απαντησω στο ερωτημα αυτο, αρχισα να παιζω με τα νουμερα, πχ βλ. κατωτερω για τη Γαλλια.
Kαι η 2η παραγωγος? Βλ. κατωτερω.
Bλεπουμε οτι σε καποια σημεια εγινε αρνητικη, αλλα η γενικη ταση ειναι ακομη θετικη.
Ενα θεμα εδω ειναι οτι υπαρχει πολυς θορυβος στα στοιχεια, ιδιως στη 2η παραγωγο. Οπως ειδαμε πιο πανω, η 2η παραγωγος μπορει να ειναι στην αρχη θετικη, μετα αρνητικη, μετα παλι θετικη, κλπ. Αρα ισως ειναι σκοπιμο να κανει καποιος καποια εξομαλυνση (smoothing) εαν ειναι να ψαξει για τασεις.
Ιδου κατωτερω ο λογος (dK/dt)/K, δηλαδη τα νεα κρουσματα ως ποσοστο των κρουσματων, μετα απο μια τετοια εξομαλυνση (το καθε νουμερο ειναι ο αριθμητικος μεσος ορος της προηγουμενης εβδομαδας).
Bλεπουμε δηλαδη οτι μικραινει, αλλα μεχρι να παει στο μηδεν, εχουμε ακομα καποιο δρομο.
Γενικα φαινεται σε καποιες χωρες οτι και το dΚ/dt και το dΘ/dt εχουν πτωτικη ταση, αλλα πουθενα δεν εχουν ακομα μηδενιστει (πλην Κινας, οπου πρακτικα εχουν μηδενιστει).
Ποιο ειναι τωρα ενα αλλο βασικο προβλημα. Το Κ ειναι ΜΗ αξιοπιστο νουμερο μια και εξαρταται, μεταξυ αλλων, απο το ποσα τεστ κανει καθε χωρα. Γενικα, υπαρχουν πολλα περισσοτερα κρουσματα απο τα καταγεγραμμενα κρουσματα, και κανενας δεν ξερει ποσα ειναι τα μη καταγεγραμμενα κρουσματα. Εαν καποιος δεν κανει τεστ ακομα και εαν υποψιαζεται οτι εχει τον ιο, η ακομα και εαν τον εχει, δεν καταγραφεται στο Κ. Το εαν κανει η οχι τεστ εξαρταται απο τη στρατηγικη της καθε χωρας, η οποια εξαρταται και απο τα ποσα test kits εχει διαθεσιμα. Εχω την αισθηση οτι γενικα υπαρχει ελλειψη. Καποιες χωρες κανουν πολλα τεστ, και καποιες κανουν τα τεστ μονο εαν καποιος ειναι σε πολυ ασχημη κατασταση δηλ. του θανατά. Επισης καποιες χωρες αλλαζουν στρατηγικη! Πχ η Δανια αλλαξε 2 φορες μεσα σε λιγοτερο απο 3 βδομαδες- μολις τωρα επανηλθε στη στρατηγικη πολλων τεστ την οποια ειχε εγκαταλειψει οταν εκλεισε ολο το δημοσιο τομεα, κατι που θα εκτοξευσει την τιμη του Κ, μονο και μονο λογω αλλαγης της στρατηγικης.
Εαν σε μια χωρα δεν γινονται τεστ, το Κ θα ειναι μηδεν.
ΤΕΛΟΣ: Aπο καποια ΠΟΛΥ τσαπατσουλικη αναλυση που εκανα, φαινεται οτι ο ρυθμος αυξησης του αριθμου των θανατων Θ εχει χρονικη υστερηση σε σχεση με τον αντιστοιχο ρυθμο μεταβολης του Κ, κατα περιπου 2 βδομαδες (οχι τα απολυτα νουμερα, οι ρυθμοι αυξησης). Δηλαδη η τιμη του (dΘ/dt)/Θ τωρα ειναι παρομοια με αυτη του (dΚ/dt)/Κ πριν 2 βδομαδες. Αυτο συναδει με τη θεωρια οτι ΕΑΝ ειναι καποιο επιβεβαιωμενο κρουσμα να αποθανει, ο χρονος μεταξυ επιβεβαιωσης του κρουσματος και του θανατου ειναι περι τις 2 βδομαδες. Υποθετω βεβαια οτι αυτο θα ισχυει μονο στην περιπτωση που η στρατηγικη του τεστ ειναι, τεσταρουμε μονο περιπτωσεις με πολυ κακα συμπτωματα.
Κατα τα αλλα, ψαχνω εναγωνιως ποτε και σε ποια χωρα η 2η παραγωγος θα γινει αρνητικη, που θα ειναι και το φως στην ακρη του τουνελ. Οντας και εδω μη ειδικος, διακινδυνευω την προβλεψη οτι σε καποιες χωρες της Ευρωπης αυτο θα γινει μεσα σε 1 με 2 μηνες απο τωρα. Εξ αλλου, δεδομενης της χρονικης υστερησης, οι επιπτωσεις των μετρων που εχουν παρθει δεν ειναι ακομα ορατες, αρα τα νουμερα θα πεσουν πιο γρηγορα.
Εν τω μεταξυ, σε καποιες χωρες οπως στη Σουηδια, φαινεται οτι δεν τρεχει τιποτε.
Αυτα προς το παρον. Προσεχετε.
Ο μπακαλης της γειτονιας.
ΥΓ Νομιζω οτι τελικα ΟΥΤΕ το Θ ειναι αξιοπιστο νουμερο. Καποιες χωρες μπορει ειτε να μην μπορουν να πιστοποιησουν οτι ο ταδε θανατος οφειλεται στον κορωνοιο, ειτε να μη ΘΕΛΟΥΝ να το πιστοποιησουν.
YΓ2 Ισως το μπλογκ αδικει την συμπαθη ταξη των μπακαληδων, οι οποιοι μαλιστα επιτελουν εξαιρετικα σημαντικο εργο την εποχη αυτη. No offense, το εννοουσα μεταφορικα.
This comment has been removed by the author.
ReplyDelete